PC · CHAP 14 — MOUVEMENT DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE › THÈME 4 — ÉTUDE DU MOUVEMENT › ◀ voir toute la carte

🎯 Copie 20/20 — Sous-thème 3 : Établir les équations horaires par intégration (vₓ, v_y, x(t), y(t))

Apprends le bleu par cœur, branche l'orange.

INVARIANT mot pour mot à chaque fois

VARIABLE la seule case qui change

RÉSULTAT / CONCLUSION

A · CARTOGRAPHIE 🗺️ Place & fréquence

De l'accélération aux positions : deux intégrations. On part de a⃗ = (q/m)·E⃗, on la projette sur les axes, puis on intègre deux fois : une fois pour la vitesse (constante d'intégration = composante de v₀⃗), une fois pour la position (constante = coordonnée initiale, ici nulle car on part de O). Avec E⃗ = E·j⃗ et v₀⃗ = v₀·i⃗ : accélération aₓ = 0, a_y = (q/m)E ; vitesse vₓ = v₀, v_y = (q/m)E·t ; position x(t) = v₀·t, y(t) = ½·(q/m)E·t². Le mouvement est uniforme selon i⃗ (x ∝ t) et uniformément accéléré selon j⃗ (y ∝ t²). Ces équations donneront la trajectoire (T5). C'est le cœur calculatoire du chapitre.

Ce qu'on te demande	Formulations	Fréquence
Établir les équations horaires	« Par intégration »	🔥🔥🔥
Projeter a⃗ (aₓ = 0, a_y = qE/m)	« Composantes de a⃗ »	🔥🔥🔥
Intégrer → vitesse, puis position	« Constantes d'intégration »	🔥🔥🔥
Nature selon i⃗ et j⃗	« Uniforme / accéléré »	🔥🔥
AN des équations horaires	« Expressions numériques »	🔥🔥

Ce qu'on te demande

Formulations

Fréquence

Établir les équations horaires

« Par intégration »

🔥🔥🔥

Projeter a⃗ (aₓ = 0, a_y = qE/m)

« Composantes de a⃗ »

🔥🔥🔥

Intégrer → vitesse, puis position

« Constantes d'intégration »

🔥🔥🔥

Nature selon i⃗ et j⃗

« Uniforme / accéléré »

🔥🔥

AN des équations horaires

« Expressions numériques »

🔥🔥

A · CARTOGRAPHIE ❓ Toutes les questions-types

Dès que tu lis le mot vert, sors la copie.

QT1 — « la méthode » → projeter a⃗, intégrer ×2 (constantes = v₀ puis position initiale).

QT2 — « projeter a⃗ » → aₓ = 0, a_y = (q/m)E.

QT3 — « la vitesse » → vₓ(t) = v₀, v_y(t) = (q/m)E·t.

QT4 — « la position » → x(t) = v₀·t, y(t) = ½·(q/m)E·t².

QT5 — « nature selon i⃗ » → uniforme (x ∝ t).

QT6 — « nature selon j⃗ » → uniformément accéléré (y ∝ t²).

QT7 — « constantes d'intégration » → v₀ (vitesse) et O (position).

QT8 — « AN des équations » → remplacer q, m, E, v₀ (a_y, coefficients).

B · LE CŒUR ✍️ Les copies pré-rédigées — à apprendre

Fil rouge : proton, v₀ = 2,0×10⁵ m·s⁻¹, E = 1,0×10⁴ V·m⁻¹, E⃗ = E·j⃗, v₀⃗ = v₀·i⃗. Le jour J tu ne changes que l'orange.

QT1 — La méthode🔥🔥🔥

On procède : ① projeter a⃗ = (q/m)E⃗ sur les axes ; ② intégrer chaque composante de a⃗ (constante = composante de v₀⃗) ; ③ intégrer chaque composante de v⃗ (constante = coordonnée initiale, nulle car départ de O).

QT2 — Projeter l'accélération🔥🔥🔥

On a : a⃗ = (q/m)E⃗ avec E⃗ = E·j⃗, donc aₓ = 0 et a_y = (q/m)·E.

QT3 — Intégrer → la vitesse🔥🔥🔥

or : v⃗ = ∫a⃗ dt avec v⃗(0) = v₀·i⃗. En intégrant : vₓ(t) = v₀ et v_y(t) = (q/m)·E·t.

QT4 — Intégrer → la position🔥🔥🔥

soit : OG⃗ = ∫v⃗ dt avec départ de O (constantes nulles). En intégrant : x(t) = v₀·t et y(t) = ½·(q/m)·E·t².

QT5 — Nature du mouvement selon i⃗🔥🔥

Donc, selon i⃗, vₓ = v₀ est constante : le mouvement est uniforme (x ∝ t).

QT6 — Nature du mouvement selon j⃗🔥🔥

et : selon j⃗, a_y est constante : le mouvement est uniformément accéléré (y ∝ t²).

QT7 — Les constantes d'intégration🔥🔥

On justifie : à la 1ʳᵉ intégration, la constante est la composante de la vitesse initiale (v₀) ; à la 2ᵈᵉ, c'est la position initiale (nulle : on part de O).

QT8 — AN des équations horaires🔥🔥

On applique : a_y = e·E/m = 1,6×10⁻¹⁹ × 1,0×10⁴ / 1,67×10⁻²⁷ ≈ 9,6×10¹¹ m·s⁻² ; d'où x(t) = 2,0×10⁵·t et y(t) = 4,8×10¹¹·t².

B · APPUI VISUEL ⬇️ La cascade a⃗ → v⃗ → OG⃗ (deux intégrations)

aₓ=0 · a_y=(q/m)E → vₓ=v₀ · v_y=(q/m)Et → x=v₀t · y=½(q/m)Et²

B · LE CŒUR ⚡ Squelette express — réviser vite

La charpente bleue + les ___. Clique → saute à la copie rédigée.

QT1 — « projeter a⃗ → intégrer ×2 (constantes = v₀ puis O). »→ copie QT1 QT2 — « aₓ = 0 · a_y = (q/m)E. »→ copie QT2 QT3 — « vₓ = v₀ · v_y = (q/m)E·t. »→ copie QT3 QT4 — « x = v₀t · y = ½(q/m)E·t². »→ copie QT4 QT5 — « selon i⃗ : uniforme (x ∝ t). »→ copie QT5 QT6 — « selon j⃗ : unif. accéléré (y ∝ t²). »→ copie QT6 QT7 — « constantes = v₀ puis position initiale (O). »→ copie QT7 QT8 — « a_y = 9,6×10¹¹ → y(t) = 4,8×10¹¹·t². »→ copie QT8

C · LES BRIQUES 📐 La cascade des intégrations

aₓ=0 · a_y=(q/m)E → vₓ=v₀ · v_y=(q/m)Et → x=v₀t · y=½(q/m)Et²

grandeur	selon i⃗	selon j⃗
Accélération	aₓ = 0	a_y = (q/m)·E
Vitesse (∫ + v₀)	vₓ(t) = v₀	v_y(t) = (q/m)·E·t
Position (∫ + O)	x(t) = v₀·t	y(t) = ½·(q/m)·E·t²
Nature	uniforme (∝ t)	uniformément accéléré (∝ t²)

Deux intégrations : a⃗ → v⃗ (constante = v₀) → OG⃗ (constante = position initiale, nulle si départ de O).
Selon i⃗ : mouvement uniforme (aₓ = 0) ; selon j⃗ : uniformément accéléré (a_y constant).
La composante a_y = (q/m)E est algébrique (signe de q, sens de E).
AN proton : a_y ≈ 9,6×10¹¹ m·s⁻² → x(t) = 2,0×10⁵·t, y(t) = 4,8×10¹¹·t².
Éliminer t entre x(t) et y(t) donnera l'équation de la trajectoire (T5·ST1).

D · RÉFLEXES 🧠 Déclencheur → réflexe (clique → copie)

« établir les équations horaires » → projeter a⃗ : aₓ = 0, a_y = qE/m→ copie QT2 « la vitesse » → intégrer + v₀ : vₓ=v₀, v_y=(q/m)Et→ copie QT3 « la position » → intégrer + O : x=v₀t, y=½(q/m)Et²→ copie QT4 « constantes d'intégration » → v₀ puis position initiale→ copie QT7 « nature du mouvement » → uniforme (i⃗) / accéléré (j⃗)→ copie QT6

D · RÉFLEXES ⚠️ Les pièges du correcteur

🚫 Ne pas oublier les constantes d'intégration : v₀ (vitesse), position initiale (souvent O).
🚫 aₓ = 0 → vₓ = v₀ constante → x = v₀·t (mouvement uniforme, pas de t²).
🚫 Le ½ et le t² dans y(t) = ½(q/m)E·t².
🚫 a_y = (q/m)E est algébrique : garder le signe de q.
🚫 Bien projeter avant d'intégrer (une équation par axe).
🚫 Convertir en unités SI ; t en secondes.

E · BARÈME 💯 Où sont les points

Ce qui rapporte	Points
Projection : aₓ = 0, a_y = (q/m)E	0,5 pt
Vitesse : vₓ = v₀, v_y = (q/m)Et (+ v₀)	0,5 pt
Position : x = v₀t, y = ½(q/m)Et²	0,5 pt
Nature (uniforme / uniformément accéléré)	0,25 pt

Ce qui rapporte

Points

Projection : aₓ = 0, a_y = (q/m)E

0,5 pt

Vitesse : vₓ = v₀, v_y = (q/m)Et (+ v₀)

0,5 pt

Position : x = v₀t, y = ½(q/m)Et²

0,5 pt

Nature (uniforme / uniformément accéléré)

0,25 pt

E · ENTRAÎNEMENT 📜 Annales « équations horaires »

Projeter et intégrer deux fois : le passage obligé avant la trajectoire et la flèche. ✅ = version interactive locale · 🔒 À FAIRE = corrigé / dossier. 🟢 fort · 🟡 moyen.

— Sujets interactifs locaux (à faire en priorité) —

🟢 ⚕️ Protonthérapie — équations horaires du proton✅ Polynésie 2024 · J1 🟢 ⚛️ Cyclotron Arronax — intégration a⃗ → v⃗ → position✅ Centres Étrangers 2026 · J2

— Équations horaires & déviation ciblées —

🟡 À FAIRE 🔒 Goutte d'encre / jet dévié (Réunion 2023) — x(t), y(t)Labolycée (dossier) ↗ 🟡 À FAIRE 🔒 Imprimante à jet d'encre (Polynésie 2022) — intégrationLabolycée (dossier) ↗

📚 Corpus complet dans ton dossier : « 14- Mouvements dans un champ électrique ». Réflexe : projeter a⃗ → ∫ (+ v₀) → ∫ (+ O) → x=v₀t, y=½(q/m)Et².

E · ENTRAÎNEMENT 🎮 QCM type-bac — équations horaires

Énoncés ancrés dans tes vrais sujets. Réponds, puis « voir le sujet corrigé ».

E · ENTRAÎNEMENT 🚑 Le minimum vital

1️⃣ Projeter a⃗ = (q/m)E⃗ : aₓ = 0, a_y = (q/m)E.
2️⃣ Intégrer (+ v₀) : vₓ = v₀, v_y = (q/m)E·t.
3️⃣ Intégrer (+ O) : x(t) = v₀·t, y(t) = ½·(q/m)E·t².
4️⃣ Selon i⃗ : uniforme ; selon j⃗ : uniformément accéléré.
5️⃣ AN proton : a_y ≈ 9,6×10¹¹ → x = 2,0×10⁵·t, y = 4,8×10¹¹·t².

⚡ Thème 4 TERMINÉ (9/12) ✅ Prochain sous-thème : Thème 5 · ST1 « Équation de la trajectoire y(x) = qE/(2mv₀²)·x² (parabole) ».